La probabilità dell'improbabile: code grasse, cigni neri e la sovrapposizione di circostanze

Nel formalismo della sovrapposizione, abbiamo stabilito che la totalità delle proiezioni del soggetto si normalizza all'unità:

\sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 = 1

Questa condizione è necessaria affinché il modello sia coerente: il soggetto distribuisce la sua attenzione, desiderio e timore tra le circostanze possibili, e la somma di queste proiezioni esaurisce il suo spazio esistenziale. Ma c'è un problema che questa equazione non risolve: cosa accade a quelle circostanze la cui probabilità è così piccola che il soggetto nemmeno le contempla, ma il cui impatto, se si verificano, è così grande da trasformare radicalmente lo stato del sistema?

Sono i cigni neri di Nassim Nicholas Taleb: eventi rari, di alto impatto e che, retrospettivamente, sembrano spiegabili.

La tirannica normalizzazione

Quando il soggetto assegna coefficienti $\alpha_i$ , lo fa su un insieme finito di circostanze che può immaginare. Il suo spazio di Hilbert esistenziale è limitato dalla sua conoscenza, dalla sua esperienza e dalla sua capacità di proiezione. Ma l'universo delle circostanze possibili non coincide con l'universo delle circostanze immaginabili.

Esiste una classe di circostanze $|\phi_\epsilon\rangle$ il cui coefficiente $\alpha_\epsilon$ è così piccolo che il soggetto le ignora nella sua normalizzazione:

\sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 + \sum_{j \in \mathcal{E}} |\alpha_{\epsilon_j}|^2 = 1

dove $\mathcal{E}$ è l'insieme di circostanze che il soggetto non considera rilevanti. In pratica, il soggetto opera come se:

\sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 \approx 1

trascurando la coda della distribuzione. E questa approssimazione funziona... finché smette di funzionare.

Nassim Nicholas Taleb: "I cigni neri sono il risultato del fatto che ciò che non sappiamo è più rilevante di ciò che sappiamo."

Distribuzioni di coda grassa nello spazio esistenziale

In una distribuzione gaussiana, gli eventi estremi sono così improbabili che possono essere ignorati senza grande rischio. Il loro contributo alla varianza totale è trascurabile. Ma le distribuzioni che governano i fenomeni umani —guerre, crisi finanziarie, scoperte, incontri fortuiti— non sono gaussiane. Sono distribuzioni a coda grassa (fat tails), dove la probabilità di eventi estremi è di ordini di grandezza superiore a quanto una campana di Gauss predirebbe.

Nel nostro modello, questo si traduce nel fatto che l'insieme $\mathcal{E}$ non è trascurabile. Il suo contributo alla normalizzazione totale può essere piccolo in termini di frequenza, ma enorme in termini di impatto esistenziale. Un singolo $|\phi_{\epsilon_k}\rangle$ con $|\alpha_{\epsilon_k}|^2 \ll 1$ può, collassando, trasformare completamente la traiettoria del soggetto.

Possiamo caratterizzare questa asimmetria mediante il momento esistenziale di ordine superiore:

\mu_k = \sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 \cdot \mathcal{I}(\phi_i)^k

dove $\mathcal{I}(\phi_i)$ è una funzione di impatto esistenziale. Le distribuzioni a coda grassa sono caratterizzate dal fatto che $\mu_k$ diverge per $k$ sufficientemente alto: i momenti di ordine superiore non sono limitati, il che significa che l'impatto delle circostanze nella coda può dominare l'esperienza vitale del soggetto.

Tutto questo è, visto in altro modo, un supporto analitico a un'intuizione millenaria:

Eraclito: "Se non speri l'inaspettato, non lo riconoscerai quando arriverà."

L'impossibilità di anticipare il cigno nero dalla sovrapposizione

Un cigno nero non è semplicemente un evento improbabile. È un evento che, inoltre, non era rappresentato nello spazio di Hilbert del soggetto prima di verificarsi. Formalmente:

|\phi_{BN}\rangle \notin \mathcal{H}_S(t^-)

dove $\mathcal{H}_S(t^-)$ è lo spazio di Hilbert del soggetto prima dell'evento. La circostanza $|\phi_{BN}\rangle$ non esisteva come vettore nella sovrapposizione precedente. Il collasso, in questo caso, crea un nuovo stato base che prima non era presente nella base del sistema.

Questo pone un paradosso interessante: l'equazione fondamentale della sovrapposizione assume un insieme fisso $\{|\phi_i\rangle\}$ di circostanze possibili. Ma il cigno nero dimostra che l'insieme non è fisso. Lo spazio delle possibilità si espande con l'esperienza.

Una formulazione più realistica richiederebbe uno spazio di Hilbert dinamico la cui dimensionalità possa aumentare:

\dim(\mathcal{H}_S(t^+)) > \dim(\mathcal{H}_S(t^-))

Il collasso di un cigno nero non solo seleziona una circostanza: amplia lo spazio del possibile, perché rivela che esistevano possibilità che il soggetto non aveva considerato.

Collasso della coda: come gli eventi rari ridefiniscono l'identità

Quando un cigno nero collassa, i suoi effetti non si limitano alla transizione $|\Psi\rangle \rightarrow |\phi_{BN}\rangle$ . La rinormalizzazione successiva è drammatica: tutti i coefficienti $\alpha_i$ precedentemente stabiliti perdono validità, e il soggetto deve ricostruire il suo spazio di proiezioni da zero.

È, in essenza, una seconda nascita. L'identità precedente al cigno nero e quella successiva sono separate da una discontinuità che nessun operatore unitario può salvare:

|\Psi(t^+)\rangle \neq U(t) |\Psi(t^-)\rangle \quad \text{per nessun } U(t)

Il cigno nero impone una non-unitarietà esistenziale. Il soggetto non può mappare continuamente il suo stato precedente a quello successivo. Non esiste funzione d'onda che colleghi chi era prima con chi è dopo. C'è, semplicemente, una frattura.

Paul Tillich: "Il coraggio di essere è la capacità di affermare il proprio essere nonostante la minaccia del non-essere."

Quella minaccia del non-essere —la dissoluzione dell'identità precedente— è precisamente ciò che il cigno nero materializza. E il coraggio di essere, la capacità di ricostruire lo spazio di Hilbert dopo la frattura.

Conclusione

La sovrapposizione di circostanze, nella sua formulazione attuale, opera su uno spazio di posizioni conosciuto. I cigni neri ci ricordano che quella conoscenza è sempre parziale e che la coda della distribuzione —ciò che ignoriamo, ciò che non immaginiamo, ciò che consideriamo impossibile— può avere più peso esistenziale di tutto il centro della distribuzione combinato.

Incorporare questa asimmetria nel modello non invalida la sua struttura, ma la completa. La condizione $\sum |\alpha_i|^2 = 1$ rimane valida, ma dobbiamo riconoscere che $n$ è una variabile dinamica, che $\mathcal{E}$ (l'insieme di ciò che è ignorato) può contenere più realtà di $\mathcal{H}_S$ , e che il collasso di un cigno nero non solo trasforma il soggetto: espande il suo universo.

Il vero rischio non è che accada l'improbabile. È che accada ciò che non abbiamo nemmeno considerato.

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