Die Wahrscheinlichkeit des Unwahrscheinlichen: dicke Enden, schwarze Schwäne und die Überlagerung von Umständen

Im Formalismus der Überlagerung haben wir festgelegt, dass die Gesamtheit der Projektionen des Subjekts auf Eins normiert wird:

\sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 = 1

Diese Bedingung ist notwendig, damit das Modell kohärent ist: Das Subjekt verteilt seine Aufmerksamkeit, seinen Wunsch und seine Furcht auf die möglichen Umstände, und die Summe dieser Projektionen erschöpft seinen existenziellen Raum. Doch es gibt ein Problem, das diese Gleichung nicht löst: Was geschieht mit jenen Umständen, deren Wahrscheinlichkeit so gering ist, dass das Subjekt sie nicht einmal in Betracht zieht, deren Wirkung jedoch, wenn sie eintreten, so groß ist, dass sie den Zustand des Systems radikal verändern?

Es sind die schwarzen Schwäne von Nassim Nicholas Taleb: seltene Ereignisse von großer Tragweite, die sich im Nachhinein erklärbar anfühlen.

Die tyrannische Normalisierung

Wenn das Subjekt Koeffizienten $\alpha_i$ vergibt, tut es dies über eine endliche Menge von Umständen, die es sich vorstellen kann. Sein existenzieller Hilbert-Raum wird durch sein Wissen, seine Erfahrung und seine Fähigkeit zur Projektion begrenzt. Doch das Universum der möglichen Umstände deckt sich nicht mit dem Universum der vorstellbaren Umstände.

Es gibt eine Klasse von Umständen $|\phi_\epsilon\rangle$ , deren Koeffizient $\alpha_\epsilon$ so klein ist, dass das Subjekt sie bei seiner Normalisierung ignoriert:

\sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 + \sum_{j \in \mathcal{E}} |\alpha_{\epsilon_j}|^2 = 1

wobei $\mathcal{E}$ die Menge der Umstände ist, die das Subjekt für nicht relevant erachtet. In der Praxis operiert das Subjekt so, als ob:

\sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 \approx 1

wobei der Rand der Verteilung vernachlässigt wird. Und diese Näherung funktioniert ... bis sie nicht mehr funktioniert.

Nassim Nicholas Taleb: „Schwarze Schwäne sind das Ergebnis der Tatsache, dass das, was wir nicht wissen, relevanter ist als das, was wir wissen.“

Verteilungen mit dicken Enden im existenziellen Raum

In einer Gauß-Verteilung sind extreme Ereignisse so unwahrscheinlich, dass sie ohne großes Risiko ignoriert werden können. Ihr Beitrag zur Gesamtvarianz ist vernachlässigbar. Doch die Verteilungen, die menschliche Phänomene beherrschen — Kriege, Finanzkrisen, Entdeckungen, zufällige Begegnungen — sind nicht gaußsch. Es sind Verteilungen mit dicken Enden (fat tails), bei denen die Wahrscheinlichkeit extremer Ereignisse um Größenordnungen höher ist, als eine Gauß'sche Glockenkurve vorhersagen würde.

In unserem Modell bedeutet dies, dass die Menge $\mathcal{E}$ nicht vernachlässigbar ist. Ihr Beitrag zur Gesamtnormalisierung mag in Bezug auf die Häufigkeit gering sein, doch in Bezug auf die existenzielle Wirkung ist er enorm. Ein einziger $|\phi_{\epsilon_k}\rangle$ mit $|\alpha_{\epsilon_k}|^2 \ll 1$ kann, wenn er kollabiert, die Bahn des Subjekts vollständig verändern.

Diese Asymmetrie können wir durch das existenzielle Moment höherer Ordnung charakterisieren:

\mu_k = \sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2 \cdot \mathcal{I}(\phi_i)^k

wobei $\mathcal{I}(\phi_i)$ eine existenzielle Wirkungsfunktion ist. Verteilungen mit dicken Enden zeichnen sich dadurch aus, dass $\mu_k$ für hinreichend großes $k$ divergiert: die Momente höherer Ordnung sind nicht beschränkt, was bedeutet, dass die Wirkung der Umstände im Rand die Lebenserfahrung des Subjekts dominieren kann.

Dies alles ist, anders betrachtet, eine analytische Stütze für eine jahrtausendealte Intuition:

Heraklit: „Wenn du das Unerwartete nicht erwartest, wirst du es nicht erkennen, wenn es kommt.“

Die Unmöglichkeit, den schwarzen Schwan aus der Überlagerung heraus vorherzusehen

Ein schwarzer Schwan ist nicht einfach ein unwahrscheinliches Ereignis. Es ist ein Ereignis, das zudem im Hilbert-Raum des Subjekts vor seinem Eintreten nicht repräsentiert war. Formal:

|\phi_{BN}\rangle \notin \mathcal{H}_S(t^-)

wobei $\mathcal{H}_S(t^-)$ der Hilbert-Raum des Subjekts vor dem Ereignis ist. Der Umstand $|\phi_{BN}\rangle$ existierte nicht als Vektor in der vorherigen Überlagerung. Der Kollaps erschafft in diesem Fall einen neuen Basiszustand, der zuvor nicht in der Basis des Systems vorhanden war.

Dies wirft eine interessante Paradoxie auf: Die fundamentalen Gleichungen der Überlagerung gehen von einer festen Menge $\{|\phi_i\rangle\}$ möglicher Umstände aus. Doch der schwarze Schwan zeigt, dass die Menge nicht fest ist. Der Raum der Möglichkeiten erweitert sich mit der Erfahrung.

Eine realistischere Formulierung würde einen dynamischen Hilbert-Raum erfordern, dessen Dimensionalität zunehmen kann:

\dim(\mathcal{H}_S(t^+)) > \dim(\mathcal{H}_S(t^-))

Der Kollaps eines schwarzen Schwans wählt nicht nur einen Umstand aus: er erweitert den Raum des Möglichen, denn er offenbart, dass es Möglichkeiten gab, die das Subjekt nicht in Betracht gezogen hatte.

Kollaps des Randes: Wie seltene Ereignisse die Identität neu definieren

Wenn ein schwarzer Schwan kollabiert, beschränken sich seine Effekte nicht auf den Übergang $|\Psi\rangle \rightarrow |\phi_{BN}\rangle$ . Die anschließende Renormierung ist dramatisch: sämtliche zuvor festgelegten Koeffizienten $\alpha_i$ verlieren ihre Gültigkeit, und das Subjekt muss seinen Projektionsraum von Grund auf neu aufbauen.

Es ist im Wesentlichen eine zweite Geburt. Die Identität vor dem schwarzen Schwan und die danach sind durch eine Diskontinuität getrennt, die kein unitärer Operator überbrücken kann:

|\Psi(t^+)\rangle \neq U(t) |\Psi(t^-)\rangle \quad \text{für keinen } U(t)

Der schwarze Schwan erzwingt eine existenzielle Nicht-Unitarietät. Das Subjekt kann seinen früheren Zustand nicht stetig auf seinen späteren abbilden. Es gibt keine Wellenfunktion, die den, der vorher war, mit dem verbindet, der nachher ist. Es gibt schlichtweg einen Bruch.

Paul Tillich: „Der Mut zum Sein ist die Fähigkeit, das eigene Sein trotz der Bedrohung durch das Nichtsein zu bejahen.“

Diese Bedrohung durch das Nichtsein — die Auflösung der vorherigen Identität — ist genau das, was der schwarze Schwan materialisiert. Und der Mut zum Sein ist die Fähigkeit, den Hilbert-Raum nach dem Bruch wieder aufzubauen.

Schlussfolgerung

Die Überlagerung von Umständen operiert in ihrer derzeitigen Formulierung über einem bekannten Raum von Positionen. Die schwarzen Schwäne erinnern uns daran, dass dieses Wissen stets unvollständig ist und dass der Rand der Verteilung — das, was wir ignorieren, was wir uns nicht vorstellen, was wir für unmöglich halten — ein größeres existenzielles Gewicht haben kann als das gesamte Zentrum der Verteilung zusammen.

Diese Asymmetrie in das Modell einzubeziehen, macht seine Struktur nicht ungültig, sondern vervollständigt sie. Die Bedingung $\sum |\alpha_i|^2 = 1$ bleibt gültig, doch wir müssen anerkennen, dass $n$ eine dynamische Variable ist, dass $\mathcal{E}$ (die Menge des Ignorierten) mehr Realität enthalten kann als $\mathcal{H}_S$ , und dass der Kollaps eines schwarzen Schwans das Subjekt nicht nur transformiert: er erweitert sein Universum.

Das wahre Risiko ist nicht, dass das Unwahrscheinliche eintritt. Es ist, dass das eintritt, was wir nicht einmal in Betracht gezogen haben.

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